Время на задачки — 5 класс
Двум составителям заданий олимпиады «Верная победа» (которую сокращенно называют ВП) — Александру и Максиму — необходимо составить некоторое количество задачек для этой олимпиады.
Александр, который параллельно пишет дипломную работу, на составление одной хорошей задачи для ВП тратит 5 часов, а Максим, который занят несколько меньше, — всего 3 часа.
Максим и Александр работают в команде и стремятся распределить работу так, чтобы их суммарное время на составление задач для ВП было как можно меньше: всё остальное время каждый из них планирует составлять задания для Московской олимпиады школьников по экономике.
- Пусть Александру и Максиму необходимо составить 5 хороших задач для ВП. Сколько часов каждый из них потратит на составление задач?
- Пусть Александру и Максиму необходимо составить Q хороших задач для ВП (Q — количество задач, которые им нужно составить). Сколько часов каждый из них потратит на составление?
- Предположим, что олимпиада ВП уже очень скоро, и Александру с Максимом необходимо объединить усилия. Если они будут работать вместе и составят при этом 26 хороших задач, сколько часов они потратят суммарно на эту работу? Сколько часов потратит каждый из них?
- Предположим, что Александр и Максим объединили усилия и работаю вместе, но теперь им нужно составить Q хороших задач для ВП. Сколько часов они потратят суммарно на эту работу? Сколько часов потратит каждый из них?
- Предположим, что у Максима на составление задач для ВП имеется всего 21 час, а Александр временем не ограничен. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление 12 хороших задач для ВП?
- Предположим, что у Максима на составление задач имеется всего T часов, а Александр временем не ограничен. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление Q хороших задач для ВП?
1) Так как Александр и Максим пытаются свести к минимуму суммарное время, оно же сумма времён, то очевидно следующее: каждую дополнительную задачу должен решать Максим в силу того, что если дополнительную задачу делает Максим, то суммарное время увеличивается на 3 часа, а если Александр, то на 5 часов. Поэтому все задачки должен сделать Максим, а Александр не делает задачки. Итого: время Максима =15 часов, время Александра =0 часов.
2) Так как Александр и Максим пытаются свести к минимуму суммарное время, оно же сумма времён, то очевидно следующее: каждую дополнительную задачу должен решать Максим в силу того, что если дополнительную задачу делает Максим, то суммарное время увеличивается на 3 часа, а если Александр, то на 5 часов. Поэтому все задачки должен сделать Максим, а Александр не делает задачки. Итого: время Максима =3Q часов, время Александра =0 часов.
3) Производительность Александра (AP_{Александра})=1/5 (задач/час); производительность Максима (AP_{Максима})=1/3 (задач/час); Общая производительность при одновременной работе (AP_{A+M})=1/3+1/5=8/15 (задач/час); следовательно время, которое потратят ребята при параллельной работе над задачками =26/(8/15)=390/8=48,75 ч. Но найденное время – это время каждого по отдельности, а суммарное 48,75*2=97,5 часов.
4) Производительность Александра (AP_{Александра})=1/5 (задач/час); производительность Максима (AP_{Максима})=1/3 (задач/час); Общая производительность при одновременной работе (AP_{A+M})=1/3+1/5=8/15 (задач/час); следовательно время, которое потратят ребята при параллельной работе над задачками = Q/(8/15)=15Q/8Q/(8/15)=15Q/8=Q/(8/15)=15Q/8 ч. Но найденное время – это время каждого по отдельности, а суммарное 15Q/8*2=15Q/4 часов.
5) Максим успеет сделать 21/3=7 задач; Александру останутся 12-7=5 задач, тогда Александр потратит 5*5=25 ч.; суммарное время=21+25=46 ч.
6) Из пункта 4) мы знаем, что при одновременной работе каждый потратит по 15Q/8 часов, соответственно, если 15Q/8<T, то каждый потратит 15Q/8 ч., и суммарное время составит 15Q/4 ч.
Если 15Q/8>T, то Максим успеет сделать T/3 задач, тогда Александру останутся Q-(T/3) задач, следовательно суммарное время составит =T+(Q-(T/3))*5=5Q-2T/3