СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 1

Очень сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2024, 10–11 классы

( баллов) Кузнечик прыгает по числовой прямой. Каждый свой прыжок он может совершить в любом направлении. Он начинает в точке прыжком единичной длины. Каждый следующий прыжок должен быть на пять больше предыдущего (т. е. первый прыжок длины , второй длины , третий длины и т. д.). За какое наименьшее число прыжков кузнечик сможет оказаться в точке ?

Ответ: .

Решение. Поскольку

за прыжков допрыгнуть не удастся. Поэтому потребуется не менее прыжков. Но прыжки с нечетными номерами меняют четность положения кузнечика. Поэтому после прыжков кузнечик окажется на нечетном числе, тридцатый прыжок четности не поменяет и, значит, после прыжков кузнечик также будет на нечетном числе и, в частности, не может оказаться в точке . Следовательно, потребуется не менее прыжка.

Покажем, что за прыжок можно попасть в . Поскольку

кузнечик все время прыгая вправо окажется в точке , поэтому он перескакивает цель на . Таким образом, ему нужно в сумме на прыгнуть в другую сторону. Например, подойдут прыжки на , , , , и .

Похожие задачи

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) На доске написано число 1200. Петя приписал к нему справа 10n+2 пятерок, где n — неотрицательное целое число. Вася подумал, что это шестеричная запись натурального числа x, и разложил x на простые множители. Оказалось, что среди них ровно два различных. При каких n это возможно?

Очень сложная

Теория чисел

СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) На картинке нарисовано несколько кружочков, соединенных отрезками. Саша выбирает натуральное число n и расставляет в кружочках различные натуральные числа так, чтобы для любых двух всех этих чисел выполнялось свойство: если числа a и b не соединены отрезком, то сумма a+b должна быть взаи

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) В стране Лимонии в обращении используются монеты достоинством 6n+1, 6n+3, 6n+5 и 6n+7 пиастров, где n — натуральное число. Житель страны зашел в банк, не имея при себе наличных денег. Какую наибольшую сумму ему не смогут выдать в банке?

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) В школе m учеников. У директора есть много карточек с числами от 1 до 100. Он раздал карточки ученикам так, что ученик мог получить несколько карточек (возможно, ни одной или одну), при этом каждый ученик получил не более чем одну карточку каждого вида. Любые два ученика получили разные

Очень сложная

Комбинаторика