(20 баллов) Кузнечик прыгает по числовой прямой. Каждый свой прыжок он может совершить в любом направлении. Он начинает в точке 0 прыжком единичной длины. Каждый следующий прыжок должен быть на пять больше предыдущего (т. е. первый прыжок длины 1, второй длины 6, третий длины 11 и т. д.). За какое н
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика
СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 2
(20 баллов) Найдите угол α, если известно, что 0circcirc и operatorname{tg}α=frac{(1+operatorname{tg}1circ)(1+operatorname{tg}3circ)-2}{(1-operatorname{tg}1circ)(1-operatorname{tg}3circ)-2}.
Очень сложная
Неравенства
Комбинаторика
СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 3
(20 баллов) Дан остроугольный треугольник ABC, меньший угол которого angle ABC=40circ. Внутри треугольника выбрана такая точка D, что angle BAC+angle ADB=180circ и 2angle ACB+angle DBA=180circ. Через точку C провели прямую, параллельную прямой AD, она пересекла пряму
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика
СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 4
(20 баллов) Решите в целых числах уравнение k2+m2=5 · 2023n+77.
Очень сложная
Комбинаторика
СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 5
(20 баллов) В стране 750 городов. Некоторые из них соединены беспосадочными двухсторонними авиалиниями. Известно, что среди любых 375 городов есть хотя бы 375 пар городов, соединенных друг с другом авиалинией. Какое наименьшее возможное количество авиалиний может быть в этой стране.
(20 баллов) Дан квадратный трехчлен f(x)=2x2+ax+b с целыми коэффициентами, при любом вещественном x удовлетворяющий неравенству 20f(x)+19ge 0. Докажите, что 2f(x)+1ge 0 при любом вещественном x.
Сложная
Неравенства
Комбинаторика
СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 2
(20 баллов) Есть 35 кроликов и 35 клеток, клетки пронумерованы числами от 1 до 35, а кролики - числами от 36 до 70. Кроликов рассаживают по клеткам (по одному кролику в клетку) так, чтобы номер каждого кролика был взаимно прост с номером его клетки. Докажите, что количество способов так рассадить кр
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 3
(20 баллов) Для любого натурального числа n докажите неравенство (1/1√(2!))+(1/2√(4!))+(1/3√(6!))+(1/4√(8!))+ldots+(1/n√((2n)!))ge (n/n+1). (Как обычно, n! обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n. Например, 4!=1 · 2 ·
Сложная
Неравенства
Комбинаторика
СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 4
(20 баллов) Возьмем произвольное натуральное число n1. Вычислим значение 5n1+1 и уберем из его разложения на простые множители все множители, кроме двоек и троек. Полученное число назовем n2. Например, Потом вычислим значение 5n2+1 и уберем из этого числа
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 5
(20 баллов) Углы angle BAD и angle BCD выпуклого четырехугольника ABCD равны. Точки P и Q симметричны точке A относительно прямых BC и CD соответственно. Прямые AP и AQ пересекают отрезок BD соответственно в точках E и F. Докажите, что описанные окружности треугольников BEP и DFQ касаются друг друга
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика
СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 6
(20 баллов) Даны четыре кучи камней, занумерованные числами от 1 до 4. Сначала в каждой куче лежит по 2024 камня. Петя и Вася играют в игру. Ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок выбирает натуральные числа m
