СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 3
( баллов) Дан остроугольный треугольник , меньший угол которого . Внутри треугольника выбрана такая точка , что и . Через точку провели прямую, параллельную прямой , она пересекла прямую в точке . Биссектрисы углов и пересекаются в точке . Найдите угол .
Ответ: .
Решение. Положим для краткости , тогда и . По условию
и, значит, .
Следовательно,
и четырехугольник вписанный. Таким образом, , значит, треугольник равнобедренный и, в частности, . Поскольку - биссектриса угла , а прямые и параллельны, . Следовательно, четырехугольник является вписанным и поэтому
Стало быть, точка является центром описанной окружности треугольника и, значит, . Осталось заметить, что
откуда получаем ответ .