СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 3

( баллов) Дан остроугольный треугольник , меньший угол которого . Внутри треугольника выбрана такая точка , что и . Через точку провели прямую, параллельную прямой , она пересекла прямую в точке . Биссектрисы углов и пересекаются в точке . Найдите угол .

Ответ

Ответ: .

Чертеж к задаче 3

Решение. Положим для краткости , тогда и . По условию

и, значит, .

Следовательно,

и четырехугольник вписанный. Таким образом, , значит, треугольник равнобедренный и, в частности, . Поскольку - биссектриса угла , а прямые и параллельны, . Следовательно, четырехугольник является вписанным и поэтому

Стало быть, точка является центром описанной окружности треугольника и, значит, . Осталось заметить, что

откуда получаем ответ .

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) При каких n клетчатую доску n × n можно разбить по клеточкам на один квадрат 2 × 2 и некоторое количество полосок из пяти клеток так, что квадрат будет примыкать к стороне доски?

Очень сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, а H — точка пересечения его высот. Оказалось, что прямая OH параллельна стороне BC. На плоскости отметили такую точку K, что ABHK — параллелограмм. Отрезки OK и AC пересеклись в точке L. В каком отношении перпендикуляр

Очень сложная

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Пусть Ω и Γ — две такие окружности с центрами O и P соответственно, что окружность Γ проходит через точку O. На окружности Γ вне окружности Ω выбрана точка M. Касательные к Ω, проходящие через M, касаются Ω в точках A и B и вторично пересекают Γ в точках C и D. Отрезки AB и CD пересекают

Очень сложная

Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) В школе обучается 95 одиннадцатиклассников. Каждый из них отправил в VK поздравление с Новым Годом 71 одиннадцатикласснику. Для какого наибольшего k обязательно можно выбрать группу из k одиннадцатиклассников, каждый из которых отправил поздравления остальным участникам группы?

Очень сложная

Комбинаторика