СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 4

Ответ: .

Первое решение. Пусть — основание высоты из точки , а точка — пересечение этой высоты с описанной окружностью треугольника , точка диаметрально противоположна точке на этой окружности, а точка — вторая точка пересечения прямой с этой окружностью. Из параллельности прямых и следует, что прямая перпендикулярна высоте . Поскольку — диаметр окружности, и, значит, прямые и параллельны. Стало быть, — средняя линия треугольника , поэтому . Далее,

поэтому в треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой, а, значит, и медианой. Таким образом, . Из равенств и получаем, что .

По условию прямые и параллельны, а прямая перпендикулярна прямой , поэтому и точки и диаметрально противоположны. Следовательно, и поэтому прямые и параллельны. Таким образом, четырехугольник является параллелограммом. Стало быть, и отрезок является медианой в треугольнике . Но отрезок также является медианой в этом треугольнике. Следовательно, — точка пересечения медиан этого треугольника и . Тогда по теореме Фалеса . Но мы уже знаем, что , поэтому .

Второе решение. Заметим, что если точки , и — середины сторон , и треугольника , то треугольник подобен треугольнику с коэффициентом . С другой стороны центр описанной окружности треугольника является точкой пересечения высот треугольника . Следовательно, и .

Пусть — основание высоты из точки , а — основание перпендикуляра, опущенного из точки на . Прямая — серединный перпендикуляр к отрезку , поэтому она параллельна высоте . По условию прямые и параллельны, следовательно, — прямоугольник и .

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому . Треугольники и подобны по двум углам ( как вертикальные, ) и их коэффициент подобия равен . Пусть , тогда и , поскольку — середина стороны . Стало быть, и , так как треугольники и подобны. Пусть , тогда , и . Следовательно, и . Таким образом, .

Третье решение. Заметим, что если точки , и — середины сторон , и треугольника , то треугольник подобен треугольнику с коэффициентом . С другой стороны центр описанной окружности треугольника является точкой пересечения высот треугольника . Следовательно, и .

Пусть — основание высоты из точки , — основание перпендикуляра, опущенного из точки на , — середина отрезка . Прямая — серединный перпендикуляр к отрезку , поэтому она параллельна высоте . По условию прямые и параллельны, следовательно, — прямоугольник и . Таким образом, . По условию прямые и параллельны, а прямая перпендикулярна прямой , поэтому . По условию параллелограмм, значит, .

Отрезок — средняя линия треугольника , поэтому . Кроме того, и перпендикулярны , поэтому точки , и лежат на одной прямой. Таким образом, и параллельна . Стало быть, — параллелограмм. Пусть — точка пересечения его диагоналей, тогда . Следовательно, и — медианы треугольника , а — точка их пересечения, поэтому и, значит, . Из подобия треугольников и следует, что . Тогда если , то и , а, значит, и .