СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 1

Очень сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2025, 10–11 классы

( баллов) На столе в ряд стоит чашек, занумерованных слева направо числами от до . В каждой чашке лежит не более вишен, а количество вишен в любых соседних чашках отличается ровно на один. В чашках с номерами , , , , , вместе вишен. Какое наибольшее количество вишен может быть во всех чашках?

Ответ: .

Решение. Заметим, что для каждой пары соседних чашек в одной четное число вишен, а в другой — нечетное. Тогда в них вместе нечетное, не превосходящее , число вишен. Значит, в каждой паре соседних чашек не более вишен. Тогда в каждой из пар –, –, –, , – не более вишен, а во всех этих парах вместе не более вишен. Тогда всего в чашках не более вишен.

Приведем пример размещения ягод. В чашки с нечетными номерами положим по вишен, а в чашки с четными номерами по вишен. Всего получится вишен. Далее съедим по две вишни из чашек с номерами , , и . Останется вишни.

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) На картинке нарисовано несколько кружочков, соединенных отрезками. Саша выбирает натуральное число n и расставляет в кружочках различные натуральные числа так, чтобы для любых двух всех этих чисел выполнялось свойство: если числа a и b не соединены отрезком, то сумма a+b должна быть взаи

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) Кузнечик прыгает по числовой прямой. Каждый свой прыжок он может совершить в любом направлении. Он начинает в точке 0 прыжком единичной длины. Каждый следующий прыжок должен быть на пять больше предыдущего (т. е. первый прыжок длины 1, второй длины 6, третий длины 11 и т. д.). За какое н

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Сумма положительных чисел a, b, c и d не превосходит 4. Найдите наибольшее значение выражения ⁴√(a(b+2c))+⁴√(b(c+2d))+⁴√(c(d+2a))+⁴√(d(a+2b)).

Очень сложная

Неравенства

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) В школе m учеников. У директора есть много карточек с числами от 1 до 100. Он раздал карточки ученикам так, что ученик мог получить несколько карточек (возможно, ни одной или одну), при этом каждый ученик получил не более чем одну карточку каждого вида. Любые два ученика получили разные

Очень сложная

Комбинаторика