(20 баллов) На столе в ряд стоит 40 чашек, занумерованных слева направо числами от 1 до 40. В каждой чашке лежит не более 10 вишен, а количество вишен в любых соседних чашках отличается ровно на один. В чашках с номерами 1, 4, 7, 10, ldots, 40 вместе 125 вишен. Какое наибольшее количество вишен може
Очень сложная
Комбинаторика
СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 2
(20 баллов) Вещественные числа a, b и c удовлетворяют условию a2+b2+c2=6. Найдите наибольшее значение выражения ab+bc-ca.
Очень сложная
Алгебра
Неравенства
СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 3
(20 баллов) Три простые числа p, q и r больше трех и удовлетворяют условию 2p+5q=r. Для какого наибольшего n число p+q+r всегда будет делиться на n?
Очень сложная
Теория чисел
СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 4
(20 баллов) Пусть Ω и Γ — две такие окружности с центрами O и P соответственно, что окружность Γ проходит через точку O. На окружности Γ вне окружности Ω выбрана точка M. Касательные к Ω, проходящие через M, касаются Ω в точках A и B и вторично пересекают Γ в точках C и D. Отрезки AB и CD пересекают
Очень сложная
Планиметрия
СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 5
(20 баллов) В школе m учеников. У директора есть много карточек с числами от 1 до 100. Он раздал карточки ученикам так, что ученик мог получить несколько карточек (возможно, ни одной или одну), при этом каждый ученик получил не более чем одну карточку каждого вида. Любые два ученика получили разные
(20 баллов) По кругу записано 75 различных чисел, причем произведение любых двух соседних чисел не является положительным. Для каждого из 75 чисел рассмотрим произведение числа и его двух соседей. Сколько из них может быть положительных?
Сложная
Комбинаторика
СПбГУ 2025, 9 класс, задача 2
(20 баллов) Каждое натуральное число окрашено в синий или красный цвет. Сумма любых двух разноцветных чисел — синее число, а их произведение — красное число. Какого цвета произведение двух красных чисел?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
СПбГУ 2025, 9 класс, задача 3
(20 баллов) Положительные числа a и b удовлетворяют неравенству a2+b2le (5/9). Докажите, что ab+ale (8/9).
Сложная
Неравенства
СПбГУ 2025, 9 класс, задача 4
(20 баллов) Точка M — середина стороны AB квадрата ABCD. Через M провели прямую, она пересекла сторону BC в точке N. Оказалось, что расстояние от точки A до прямой MN равно 3, а расстояние от точки C до прямой MN равно 8. Найдите площадь квадрата ABCD. Чертеж к задаче 4
Сложная
Планиметрия
СПбГУ 2025, 9 класс, задача 5
(20 баллов) В стране 2025 городов. Между некоторыми городами построены дороги с односторонним движением, а между 2 городами может быть несколько дорог в разных направлениях. Для любых двух городов A и B можно добраться (возможно через какие-то другие города) либо из A в B, либо из B в A, либо из A в
Сложная
Комбинаторика
СПбГУ 2025, 9 класс, задача 6
(20 баллов) Найдите все простые числа p, для которых существует ровно пять таких натуральных чисел n, что n3+p2 делится на n+p.
