СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 2

Очень сложная
Алгебра
Неравенства
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2025, 10–11 классы

( баллов) Вещественные числа , и удовлетворяют условию . Найдите наибольшее значение выражения .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. При и имеем . Докажем, что . Для этого покажем, что или, что то же самое, . Но это следствие неравенства о средних для двух чисел: .

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Сумма положительных чисел a, b, c и d не превосходит 4. Найдите наибольшее значение выражения 4√(a(b+2c))+4√(b(c+2d))+4√(c(d+2a))+4√(d(a+2b)).
Очень сложная
Неравенства
Комбинаторика

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) Вещественные числа x1, x2, ldots, x16 не превосходят 3. Найдите наибольшее значение выражения (x23/x12+9) +(x33/x22+9) +ldots+frac{x163}{x15
Очень сложная
Алгебра
Неравенства

СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 2

(20 баллов) При x,y,z∈(0,2] найдите максимальное значение выражения A=frac{(x3-6)3√(x+6)+(y3-6)3√(y+6)+(z3-6)3√(z+6)}{x2+y2+z2}.
Очень сложная
Неравенства

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 2

(20 баллов) Найдите угол α, если известно, что 0circcirc и operatorname{tg}α=frac{(1+operatorname{tg}1circ)(1+operatorname{tg}3circ)-2}{(1-operatorname{tg}1circ)(1-operatorname{tg}3circ)-2}.
Очень сложная
Неравенства
Комбинаторика