СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 5

Очень сложная
Алгебра
Неравенства
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2026, 10–11 классы

( баллов) Вещественные числа , , , не превосходят . Найдите наибольшее значение выражения

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Если , то выражение равно . Покажем, что больше оно быть не может. Положим , тогда и . Поэтому

и достаточно доказать неравенство

Для этого заметим, что при выполняется неравенство

Действительно,

Просуммируем неравенства для и и получим, что

Замечание. Равенство достигается, если равно или , причем в строчке , , , , нет двух соседних нулей.

Похожие задачи

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 2

(20 баллов) Положительные числа a, b, c таковы, что a2+b2+c2=3. Найдите минимальное значение выражения A=(a4+b4/c2+4ab) +(b4+c4/a2+4bc) +(c4+a4/b2+4ca).
Очень сложная
Неравенства

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 2

(20 баллов) Найдите угол α, если известно, что 0circcirc и operatorname{tg}α=frac{(1+operatorname{tg}1circ)(1+operatorname{tg}3circ)-2}{(1-operatorname{tg}1circ)(1-operatorname{tg}3circ)-2}.
Очень сложная
Неравенства
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 2

(20 баллов) Вещественные числа a, b и c удовлетворяют условию a2+b2+c2=6. Найдите наибольшее значение выражения ab+bc-ca.
Очень сложная
Алгебра
Неравенства

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Сумма положительных чисел a, b, c и d не превосходит 4. Найдите наибольшее значение выражения 4√(a(b+2c))+4√(b(c+2d))+4√(c(d+2a))+4√(d(a+2b)).
Очень сложная
Неравенства
Комбинаторика