СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 2

Очень сложная

Неравенства

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2021, 10–11 классы

( баллов) Положительные числа , , таковы, что . Найдите минимальное значение выражения

Ответ: .

Решение. По неравенствам для средних

Аналогичным образом оцениваются два других слагаемых в . Складывая эти неравенства, мы получим

Равенство реализуется при .

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Сумма положительных чисел a, b, c и d не превосходит 4. Найдите наибольшее значение выражения ⁴√(a(b+2c))+⁴√(b(c+2d))+⁴√(c(d+2a))+⁴√(d(a+2b)).

Очень сложная

Неравенства

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 2

(20 баллов) Вещественные числа a, b и c удовлетворяют условию a²+b²+c²=6. Найдите наибольшее значение выражения ab+bc-ca.

Очень сложная

Алгебра

Неравенства

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) Вещественные числа x₁, x₂, ldots, x₁₆ не превосходят 3. Найдите наибольшее значение выражения (x₂³/x₁²+9) +(x₃³/x₂²+9) +ldots+frac{x₁₆³}{x₁₅

Очень сложная

Алгебра

Неравенства

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 2

(20 баллов) Найдите угол α, если известно, что 0^circcirc и operatorname{tg}α=frac{(1+operatorname{tg}1^circ)(1+operatorname{tg}3^circ)-2}{(1-operatorname{tg}1^circ)(1-operatorname{tg}3^circ)-2}.

Очень сложная

Неравенства

Комбинаторика