(20 баллов) В некоторых клетках полоски 1 × 2021 поставлено по одной фишке. В каждую из пустых клеток записывается число, равное модулю разности количества фишек слева и справа от этой клетки. Известно, что все записанные числа различны и отличны от нуля. Какое наименьшее количество фишек может быть
Очень сложная
Комбинаторика
СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 2
(20 баллов) Положительные числа a, b, c таковы, что a2+b2+c2=3. Найдите минимальное значение выражения A=(a4+b4/c2+4ab) +(b4+c4/a2+4bc) +(c4+a4/b2+4ca).
Очень сложная
Неравенства
СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 3
(20 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. На продолжении стороны AC за точку C отмечена точка K, и в треугольник ABK вписана окружность с центром в точке I. Через точки B и I проведена окружность, касающаяся прямой AB в точке B. Эта окружность вторично пересекает отрезок BK в т
Очень сложная
Планиметрия
СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 4
(20 баллов) На доске написано число 1200. Петя приписал к нему справа 10n+2 пятерок, где n — неотрицательное целое число. Вася подумал, что это шестеричная запись натурального числа x, и разложил x на простые множители. Оказалось, что среди них ровно два различных. При каких n это возможно?
Очень сложная
Теория чисел
СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 5
(20 баллов) В стране Лимонии в обращении используются монеты достоинством 6n+1, 6n+3, 6n+5 и 6n+7 пиастров, где n — натуральное число. Житель страны зашел в банк, не имея при себе наличных денег. Какую наибольшую сумму ему не смогут выдать в банке?
(20 баллов) Докажите, что для любых вещественных чисел a и b уравнение (a2-b2)x2+2(a3-b3)x+(a4-b4)=0 имеет решение.
Сложная
Теория чисел
СПбГУ 2021, 9 класс, задача 2
(20 баллов) На острове живут лжецы и рыцари. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый житель острова про каждого из остальных знает рыцарь он или лжец. Как-то раз встретились 19 островитян. Трое из них сказали: «Ровно трое из нас лжецы», затем шестеро из остальных сказали: «Ровно шест
Сложная
Комбинаторика
СПбГУ 2021, 9 класс, задача 3
(20 баллов) Вещественные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a6+b6+c6+d6=64. Найдите наибольшее значение выражения a7+b7+c7+d7.
Сложная
Неравенства
СПбГУ 2021, 9 класс, задача 4
(20 баллов) На стороне BC треугольника ABC отмечена точка K. К описанной окружности треугольника AKC проведена касательная ell1, параллельная прямой AB и ближайшая к ней. Она коснулась окружности в точке L. Прямая AL пересекла описанную окружность треугольника ABK в точке M (Mne A). К это
Сложная
Планиметрия
СПбГУ 2021, 9 класс, задача 5
(20 баллов) Дана клетчатая доска 2020 × 2021. Петя и Вася играют в следующую игру. Они по очереди ставят фишки в свободные клетки доски. Выигрывает тот игрок, после хода которого в каждом квадрате 4 × 4 будет стоять фишка. Начинает Петя. Кто из игроков может обеспечить себе победу вне зависимости от
Сложная
Комбинаторика
СПбГУ 2021, 9 класс, задача 6
(20 баллов) Найдите все пары такие простых чисел p и q, что p2+5pq+4q2 является квадратом натурального числа.
