СПбГУ 2021, 9 класс, задача 4
( баллов) На стороне треугольника отмечена точка . К описанной окружности треугольника проведена касательная , параллельная прямой и ближайшая к ней. Она коснулась окружности в точке . Прямая пересекла описанную окружность треугольника в точке (). К этой окружности в точке проведена касательная . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть — точка пересечения прямых и . Если мы докажем, что — касательная к описанной окружности треугольника , то точка будет лежать на прямой , а значит, прямые , и пересекаются в одной точке.
Поскольку прямые и параллельны, а четырехугольник вписанный,
Следовательно, четырехугольник вписанный и, значит, . Четырехугольник вписанный, поэтому . Следовательно, . Поскольку угол между касательной и секущей равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, которую стягивает секущая, . Таким образом,
(последнее — из параллельности прямых и ). Стало быть, — касательная к описанной окружности треугольника .