СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 4
( баллов) Точка — середина катета равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом . Биссектриса угла пересекает описанную окружность треугольника в точке . Точка — основание перпендикуляра, опущенного из на прямую . Найдите угол .
Ответ: .
Первое решение. Пусть — точка пересечения прямых и . Поскольку четырехугольник вписанный, и . Кроме того . Тогда
Следовательно, треугольник равнобедренный и его высота является медианой. Таким образом, и отрезок — средняя линия в треугольнике , в частности, прямые и параллельны и, значит, .
Поскольку — биссектриса угла , а четырехугольник вписанный, . Следовательно,
Второе решение. Пусть — середина гипотенузы , тогда это центр описанной окружности треугольника и, значит, . Следовательно, треугольник равнобедренный и . Угол является внешним углом для треугольника , поэтому . Таким образом, треугольник равнобедренный и прямоугольный. Отрезок является средней линией треугольника и, значит, он параллелен стороне . Стало быть, треугольник равнобедренный и прямоугольный. Следовательно, треугольники и равны по двум углам и стороне (), а тогда и треугольник равнобедренный со внешним углом, равным . Поэтому углы при его основании равны по . Осталось заметить, что .