СПбГУ 2025, 9 класс, задача 1
( баллов) По кругу записано различных чисел, причем произведение любых двух соседних чисел не является положительным. Для каждого из чисел рассмотрим произведение числа и его двух соседей. Сколько из них может быть положительных?
Ответ: .
Решение. Если ни одно из чисел не равно нулю, то произведение соседних чисел отрицательно и, значит, соседние числа имеют противоположные знаки. Поэтому числа стоящие через одно имеют одинаковые знаки, т. е. одного знака первое, третье, пятое, , -е числа. Первое и -е числа стоят рядом, но их произведение положительно, что противоречит условию. Таким образом, среди чисел есть ровно один ноль, а соседние ненулевые числа имеют противоположные знаки. Разрежем круг по числу ноль. В получившейся полоске знаки чисел чередуются или . Для таких расстановок произведение числа и его двух соседей будет положительным в точности когда это число отрицательно. А таких чисел ровно .