(20 баллов) В каждой клетке таблицы 100 × 100 записано натуральное число. В каждой строке имеется по крайней мере 10 различных чисел, а в каждых четырех последовательных строках не более 15 различных чисел. Какое наибольшее количество различных чисел может быть в таблице?
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика
СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 2
(20 баллов) Найдите все простые p, для которых числа p+1 и p2+1 являются удвоенными квадратами натуральных чисел.
Очень сложная
Комбинаторика
СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 3
(20 баллов) Сумма положительных чисел a, b, c и d не превосходит 4. Найдите наибольшее значение выражения 4√(a(b+2c))+4√(b(c+2d))+4√(c(d+2a))+4√(d(a+2b)).
Очень сложная
Неравенства
Комбинаторика
СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 4
(20 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, а H — точка пересечения его высот. Оказалось, что прямая OH параллельна стороне BC. На плоскости отметили такую точку K, что ABHK — параллелограмм. Отрезки OK и AC пересеклись в точке L. В каком отношении перпендикуляр
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика
СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 5
(20 баллов) В классе n мальчиков и n девочек (nge3). Они расселись за круглым столом так, что никакие два мальчика и никакие две девочки не сидят рядом. У учителя есть 2n карточек, на них написаны числа 1, 2, 3,..., 2n, каждое по одному разу. Он так раздал каждому школьнику по одной карточке, что чи
(20 баллов) Квадратный трехчлен f(x)=ax2+bx+c имеет ровно один корень, квадратный трехчлен 2f(2x-3)-f(3x+1) также имеет ровно один корень. Найдите корень трехчлена f(x).
Сложная
Неравенства
Комбинаторика
СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 2
(20 баллов) В клетках квадрата 11 × 11 расставлены нули и единицы таким образом, что в любой фигурке из четырех клеток вида Фигурка из условия сумма чисел нечетна. (Фигурку можно поворачивать и переворачивать). Какое наименьшее количество единиц может быть в такой расстановке?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 3
(20 баллов) Натуральные числа a и b таковы, что числа ab и (a+1)(b+1) — являются квадратами некоторых натуральных чисел. Докажите, что для некоторого натурального числа n>1 число (a+n)(b+n) также является квадратом некоторого натурального числа.
Сложная
Комбинаторика
СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 4
(20 баллов) Точка M — середина катета AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом angle B. Биссектриса угла angle A пересекает описанную окружность треугольника в точке L. Точка H — основание перпендикуляра, опущенного из L на прямую AC. Найдите угол angle AMH.
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика
СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 5
(20 баллов) Сумма положительных чисел a, b и c равна трем. Докажите неравенство (ab/√(c2+3))+(bc/√(a2+3))+(ca/√(b2+3))lefrac32.
Сложная
Неравенства
Комбинаторика
СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 6
(20 баллов) На плоскости проведены 2n+1 синяя и n-1 красная прямая, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Докажите, что среди частей, на которые они разбивают плоскость, найдется не менее 4n+2 частей, ограниченных только синими прямыми.
