СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 3

Сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2023, 8–9 классы

( баллов) Натуральные числа и таковы, что числа и — являются квадратами некоторых натуральных чисел. Докажите, что для некоторого натурального числа число также является квадратом некоторого натурального числа.

Решение. Возьмем , тогда

что есть произведение двух точных квадратов.

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 4

(20 баллов) Точка M — середина катета AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом angle B. Биссектриса угла angle A пересекает описанную окружность треугольника в точке L. Точка H — основание перпендикуляра, опущенного из L на прямую AC. Найдите угол angle AMH.

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2022, 9 класс, задача 1

(20 баллов) Петя и Вася одновременно выехали на самокатах навстречу друг другу. Ровно посредине между ними расположен мост. Дорога от Пети до моста асфальтированная, а от Васи до моста — грунтовая. Известно, что по грунтовой дороге они едут с одинаковыми скоростями, а по асфальту Петя движется в 3 р

Сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2021, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Дана клетчатая доска 2020 × 2021. Петя и Вася играют в следующую игру. Они по очереди ставят фишки в свободные клетки доски. Выигрывает тот игрок, после хода которого в каждом квадрате 4 × 4 будет стоять фишка. Начинает Петя. Кто из игроков может обеспечить себе победу вне зависимости от

Сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 3

(20 баллов) На доске 2026 × 2026 расставлены ладьи так, что каждая клетка доски находится под боем хотя бы одной ладьи, но каждая ладья бьет не более 20 других ладей. Для какого наименьшего n можно утверждать, что в любом клетчатом квадрате n × n находится хотя бы одна ладья. Ладья - это шахматная ф

Сложная

Комбинаторика