СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 5

Сложная
Неравенства
Комбинаторика
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2023, 8–9 классы

( баллов) Сумма положительных чисел , и равна трем. Докажите неравенство

Решение. С помощью раскрытия скобок несложно проверить, что . Следовательно,

Поэтому по неравенству о средних для двух чисел

Стало быть,

Похожие задачи

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Каждое натуральное число окрашено в синий или красный цвет. Сумма любых двух разноцветных чисел — синее число, а их произведение — красное число. Какого цвета произведение двух красных чисел?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 2

(20 баллов) В клетках квадрата 11 × 11 расставлены нули и единицы таким образом, что в любой фигурке из четырех клеток вида Фигурка из условия сумма чисел нечетна. (Фигурку можно поворачивать и переворачивать). Какое наименьшее количество единиц может быть в такой расстановке?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 4

(20 баллов) Точка M — середина катета AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом angle B. Биссектриса угла angle A пересекает описанную окружность треугольника в точке L. Точка H — основание перпендикуляра, опущенного из L на прямую AC. Найдите угол angle AMH.
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 1

(20 баллов) По кругу записано 75 различных чисел, причем произведение любых двух соседних чисел не является положительным. Для каждого из 75 чисел рассмотрим произведение числа и его двух соседей. Сколько из них может быть положительных?
Сложная
Комбинаторика