СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 3

Очень сложная
Неравенства
Комбинаторика
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2023, 10–11 классы

( баллов) Сумма положительных чисел , , и не превосходит . Найдите наибольшее значение выражения

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Первое решение. По неравенству о средних для четырех чисел имеем

Просуммируем это неравенство с тремя аналогичными и получим, что

Равенство достигается, когда .

Второе решение. По неравенству Коши-Буняковского для наборов чисел , , , и , , , имеем

А по неравенству Коши-Буняковского для наборов , , , и , , , имеем

поэтому . Аналогично по неравенству Коши-Буняковского для наборов , , , и , , , имеем

поэтому . Следовательно,

Равенство достигается, когда .

Третье решение. По неравенству Коши-Буняковского для наборов чисел , , , и , , , имеем

Оценим по-отдельности сомножители в правой части. По неравенству о средних для двух чисел , поэтому

Аналогично по неравенству о средних для двух чисел

поэтому

Следовательно,

Равенство достигается, когда .

Похожие задачи

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) В стране 750 городов. Некоторые из них соединены беспосадочными двухсторонними авиалиниями. Известно, что среди любых 375 городов есть хотя бы 375 пар городов, соединенных друг с другом авиалинией. Какое наименьшее возможное количество авиалиний может быть в этой стране.
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) В стране Лимонии в обращении используются монеты достоинством 6n+1, 6n+3, 6n+5 и 6n+7 пиастров, где n — натуральное число. Житель страны зашел в банк, не имея при себе наличных денег. Какую наибольшую сумму ему не смогут выдать в банке?
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) Какое наименьшее количество клеток можно вырезать из доски 6 × 6 так, чтобы из остатка нельзя было вырезать фигурку. Фигурка к задаче 1
Очень сложная
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) На столе в ряд стоит 40 чашек, занумерованных слева направо числами от 1 до 40. В каждой чашке лежит не более 10 вишен, а количество вишен в любых соседних чашках отличается ровно на один. В чашках с номерами 1, 4, 7, 10, ldots, 40 вместе 125 вишен. Какое наибольшее количество вишен може
Очень сложная
Комбинаторика