СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 1

Очень сложная
Комбинаторика
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2026, 10–11 классы

( баллов) Какое наименьшее количество клеток можно вырезать из доски так, чтобы из остатка нельзя было вырезать фигурку.

Фигурка к задаче 1

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Пример вырезания шести клеток приведен на рисунке.

Пример вырезания клеток к задаче 1

Предположим, что фигурку нельзя вырезать из оставшихся клеток доски. Рассмотрим прямоугольник и заметим, что в нем обязательно есть две вырезанные клетки. Но доска разбивается на три таких прямоугольника, поэтому вырезанных клеток не менее шести.

Похожие задачи

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) В некоторых клетках полоски 1 × 2021 поставлено по одной фишке. В каждую из пустых клеток записывается число, равное модулю разности количества фишек слева и справа от этой клетки. Известно, что все записанные числа различны и отличны от нуля. Какое наименьшее количество фишек может быть
Очень сложная
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) В стране 750 городов. Некоторые из них соединены беспосадочными двухсторонними авиалиниями. Известно, что среди любых 375 городов есть хотя бы 375 пар городов, соединенных друг с другом авиалинией. Какое наименьшее возможное количество авиалиний может быть в этой стране.
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) Кузнечик прыгает по числовой прямой. Каждый свой прыжок он может совершить в любом направлении. Он начинает в точке 0 прыжком единичной длины. Каждый следующий прыжок должен быть на пять больше предыдущего (т. е. первый прыжок длины 1, второй длины 6, третий длины 11 и т. д.). За какое н
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 2

(20 баллов) Найдите все простые p, для которых числа p+1 и p2+1 являются удвоенными квадратами натуральных чисел.
Очень сложная
Комбинаторика