СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 2

Очень сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2023, 10–11 классы

( баллов) Найдите все простые , для которых числа и являются удвоенными квадратами натуральных чисел.

Ответ: .

Первое решение. Пусть и , тогда . Поэтому либо , либо кратно . Из неравенства следует, что . Таким образом, имеем систему из двух уравнений и , решая ее, находим и, значит, . Следовательно, .

Второе решение. Пусть и , тогда . Поэтому одно из чисел , и делится на . Если делится на , то , что невозможно, поскольку не является удвоенным квадратом. Если делится на , то и, значит, , что невозможно. Следовательно, делится на . Заметим, что

Тогда если , то , откуда и, значит, . Стало быть, , что также невозможно. Таким образом, осталось рассмотреть случаи , и . В первых двух из них не является удвоенным квадратом, а подходит.

Похожие задачи

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) В стране Лимонии в обращении используются монеты достоинством 6n+1, 6n+3, 6n+5 и 6n+7 пиастров, где n — натуральное число. Житель страны зашел в банк, не имея при себе наличных денег. Какую наибольшую сумму ему не смогут выдать в банке?

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) На столе в ряд стоит 40 чашек, занумерованных слева направо числами от 1 до 40. В каждой чашке лежит не более 10 вишен, а количество вишен в любых соседних чашках отличается ровно на один. В чашках с номерами 1, 4, 7, 10, ldots, 40 вместе 125 вишен. Какое наибольшее количество вишен може

Очень сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Сумма положительных чисел a, b, c и d не превосходит 4. Найдите наибольшее значение выражения ⁴√(a(b+2c))+⁴√(b(c+2d))+⁴√(c(d+2a))+⁴√(d(a+2b)).

Очень сложная

Неравенства

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, а H — точка пересечения его высот. Оказалось, что прямая OH параллельна стороне BC. На плоскости отметили такую точку K, что ABHK — параллелограмм. Отрезки OK и AC пересеклись в точке L. В каком отношении перпендикуляр

Очень сложная

Планиметрия

Комбинаторика