СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 2

( баллов) Найдите все простые , для которых числа и являются удвоенными квадратами натуральных чисел.

Ответ

Ответ: .

Первое решение. Пусть и , тогда . Поэтому либо , либо кратно . Из неравенства следует, что . Таким образом, имеем систему из двух уравнений и , решая ее, находим и, значит, . Следовательно, .

Второе решение. Пусть и , тогда . Поэтому одно из чисел , и делится на . Если делится на , то , что невозможно, поскольку не является удвоенным квадратом. Если делится на , то и, значит, , что невозможно. Следовательно, делится на . Заметим, что

Тогда если , то , откуда и, значит, . Стало быть, , что также невозможно. Таким образом, осталось рассмотреть случаи , и . В первых двух из них не является удвоенным квадратом, а подходит.

Похожие задачи

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) В стране Лимонии в обращении используются монеты достоинством 6n+1, 6n+3, 6n+5 и 6n+7 пиастров, где n — натуральное число. Житель страны зашел в банк, не имея при себе наличных денег. Какую наибольшую сумму ему не смогут выдать в банке?

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) В классе n мальчиков и n девочек (nge3). Они расселись за круглым столом так, что никакие два мальчика и никакие две девочки не сидят рядом. У учителя есть 2n карточек, на них написаны числа 1, 2, 3,..., 2n, каждое по одному разу. Он так раздал каждому школьнику по одной карточке, что чи

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) На столе в ряд стоит 40 чашек, занумерованных слева направо числами от 1 до 40. В каждой чашке лежит не более 10 вишен, а количество вишен в любых соседних чашках отличается ровно на один. В чашках с номерами 1, 4, 7, 10, ldots, 40 вместе 125 вишен. Какое наибольшее количество вишен може

Очень сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Сумма положительных чисел a, b, c и d не превосходит 4. Найдите наибольшее значение выражения ⁴√(a(b+2c))+⁴√(b(c+2d))+⁴√(c(d+2a))+⁴√(d(a+2b)).

Очень сложная

Неравенства

Комбинаторика