СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 5
( баллов) В классе мальчиков и девочек (). Они расселись за круглым столом так, что никакие два мальчика и никакие две девочки не сидят рядом. У учителя есть карточек, на них написаны числа , , , ..., , каждое по одному разу. Он так раздал каждому школьнику по одной карточке, что число у любой девочки больше числа у любого мальчика. Затем каждая девочка написала на листочке сумму чисел на трех карточках: ее собственной и сидящих рядом с ней мальчиков. При каких все полученные чисел могли оказаться равными?
Ответ: при нечетных .
Решение. По условию мальчики получили карточки с числами от до , а девочки карточки с числами от до . Предположим, что у всех девочек на листочках оказалось написано число . Тогда сумма всех чисел на листочках равна , с другой стороны она может быть получена следующим образом: надо сложить все числа, которые есть у девочек и добавить к ним удвоенную сумму всех чисел, которые есть у мальчиков.
Следовательно,
Стало быть, и - нечетно. Пусть , тогда . Для примера надо последовательно раздать карточки мальчикам от до идя через одного. Если теперь для каждой девочки посмотреть на сумму чисел, на карточках соседних с ней мальчиков, то по одному разу получатся все суммы от до . Дальше нужно дополнить их числами от до (раздав соответствующие карточки девочкам) так, чтобы все суммы стали равны . Пример раздачи карточек для и показан на рисунке.
