СПбГУ 2025, 9 класс, задача 4

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2025, 9 класс

( баллов) Точка — середина стороны квадрата . Через провели прямую, она пересекла сторону в точке . Оказалось, что расстояние от точки до прямой равно , а расстояние от точки до прямой равно . Найдите площадь квадрата .

Чертеж к задаче 4

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Через вершину проведем прямую, параллельную . Опустим на нее перпендикуляры из точек и , обозначим их основания через и . Поскольку прямая параллельна , она является средней линией треугольника и, значит, пересекает сторону в ее середине. Поэтому и расстояние между прямыми и равно . Следовательно, . Прямоугольные треугольники и равны по стороне и углу, поэтому . Таким образом, .

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 4

(20 баллов) Точка M — середина катета AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом angle B. Биссектриса угла angle A пересекает описанную окружность треугольника в точке L. Точка H — основание перпендикуляра, опущенного из L на прямую AC. Найдите угол angle AMH.
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 5

(20 баллов) Углы angle BAD и angle BCD выпуклого четырехугольника ABCD равны. Точки P и Q симметричны точке A относительно прямых BC и CD соответственно. Прямые AP и AQ пересекают отрезок BD соответственно в точках E и F. Докажите, что описанные окружности треугольников BEP и DFQ касаются друг друга
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2022, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Точки A1 и B1 — середины сторон BC и AC остроугольного треугольника ABC, точка M — середина отрезка A1B1. Точка H — основание высоты, опущенной из вершины C на сторону AB. Через точку M проведены окружности, касающиеся сторон BC и AC соответств
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 4

(20 баллов) В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполняется соотношение angle ABC+angle BCDge 180circ. Сторона BC поделена на три равные части точками L и M. Докажите, что AL+DM>AB+CD. Рисунок к задаче 4
Сложная
Планиметрия