СПбГУ 2022, 9 класс, задача 5
( баллов) Точки и — середины сторон и остроугольного треугольника , точка — середина отрезка . Точка — основание высоты, опущенной из вершины на сторону . Через точку проведены окружности, касающиеся сторон и соответственно в точках и . Обозначим вторую точку пересечения окружностей через . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.
Решение. Пусть — точка, симметричная точке относительно прямой , прямая пересекает прямые и в точках и соответственно. Поскольку угол между касательной и секущей равен вписанному углу, опирающемуся на секущую,
Следовательно, треугольники и подобны. Значит, , откуда
Аналогично
Следовательно, треугольники и подобны, откуда . Поэтому точки и совпадают, то есть прямая проходит через точку . Относительно прямой симметричны прямые и , а также точки и . Поэтому лежит на прямой .