(20 баллов) На картинке нарисовано несколько кружочков, соединенных отрезками. Саша выбирает натуральное число n и расставляет в кружочках различные натуральные числа так, чтобы для любых двух всех этих чисел выполнялось свойство: если числа a и b не соединены отрезком, то сумма a+b должна быть взаи
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика
СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 2
(20 баллов) При x,y,z∈(0,2] найдите максимальное значение выражения A=frac{(x3-6)3√(x+6)+(y3-6)3√(y+6)+(z3-6)3√(z+6)}{x2+y2+z2}.
Очень сложная
Неравенства
СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 3
(20 баллов) Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Внутри треугольника AOB выбрана такая точка K, что прямая KO является биссектрисой угла CKD. Луч DK вторично пересекает описанную окружность треугольника COK в точке L, а луч CK вторично пересекает описанную окружность тр
Очень сложная
Планиметрия
СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 4
(20 баллов) Натуральное число x в системе счисления с основанием r (rle 36) имеет вид overline{pqqp}, причем 2q=5p. Оказалось, что r-ичная запись числа x2 представляет собой семизначный палиндром с нулевой средней цифрой. (Палиндромом называется число, которое читается одинаково слева нап
Очень сложная
Теория чисел
СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 5
(20 баллов) При каких n клетчатую доску n × n можно разбить по клеточкам на один квадрат 2 × 2 и некоторое количество полосок из пяти клеток так, что квадрат будет примыкать к стороне доски?
(20 баллов) Петя и Вася одновременно выехали на самокатах навстречу друг другу. Ровно посредине между ними расположен мост. Дорога от Пети до моста асфальтированная, а от Васи до моста — грунтовая. Известно, что по грунтовой дороге они едут с одинаковыми скоростями, а по асфальту Петя движется в 3 р
Сложная
Комбинаторика
СПбГУ 2022, 9 класс, задача 2
(20 баллов) Дан квадратный трехчлен 2x2-x-36. Найдите все целые x, при которых значения этого трехчлена равны квадрату простого числа.
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
СПбГУ 2022, 9 класс, задача 3
(20 баллов) Положительные числа a, b и c удовлетворяют условию abc(a+b+c)=ab+bc+ca. Докажите неравенство 5(a+b+c)ge 7+8abc.
Сложная
Неравенства
Комбинаторика
СПбГУ 2022, 9 класс, задача 4
(20 баллов) У Маши есть 1000 бусинок 50 различных цветов, по 20 бусинок каждого цвета. При каком наименьшем n для любого способа собрать из всех бусинок ожерелье можно выбрать n последовательных бусинок, среди которых есть бусинки 25 разных цветов?
Сложная
Комбинаторика
СПбГУ 2022, 9 класс, задача 5
(20 баллов) Точки A1 и B1 — середины сторон BC и AC остроугольного треугольника ABC, точка M — середина отрезка A1B1. Точка H — основание высоты, опущенной из вершины C на сторону AB. Через точку M проведены окружности, касающиеся сторон BC и AC соответств
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика
СПбГУ 2022, 9 класс, задача 6
(20 баллов) У натурального числа n нет ни одного делителя d, удовлетворяющего неравенству n2le d4le n3. Докажите, что n имеет простой делитель, четвертая степень которого больше, чем n3.
