СПбГУ 2022, 9 класс, задача 3

Сложная
Неравенства
Комбинаторика
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2022, 9 класс

( баллов) Положительные числа , и удовлетворяют условию . Докажите неравенство

Решение. Поскольку

нам достаточно доказать неравенство

которое эквивалентно . Но это верно, поскольку

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 2

(20 баллов) В клетках квадрата 11 × 11 расставлены нули и единицы таким образом, что в любой фигурке из четырех клеток вида Фигурка из условия сумма чисел нечетна. (Фигурку можно поворачивать и переворачивать). Какое наименьшее количество единиц может быть в такой расстановке?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Каждое натуральное число окрашено в синий или красный цвет. Сумма любых двух разноцветных чисел — синее число, а их произведение — красное число. Какого цвета произведение двух красных чисел?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 5

(20 баллов) В стране 2025 городов. Между некоторыми городами построены дороги с односторонним движением, а между 2 городами может быть несколько дорог в разных направлениях. Для любых двух городов A и B можно добраться (возможно через какие-то другие города) либо из A в B, либо из B в A, либо из A в
Сложная
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 1

(20 баллов) По кругу записано 75 различных чисел, причем произведение любых двух соседних чисел не является положительным. Для каждого из 75 чисел рассмотрим произведение числа и его двух соседей. Сколько из них может быть положительных?
Сложная
Комбинаторика