СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 3

Сложная

Неравенства

Комбинаторика

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2024, 8–9 классы

( баллов) Для любого натурального числа докажите неравенство

(Как обычно, обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих . Например, .)

Ответ

Решение. Покажем, что

Для этого достаточно проверить неравенство . Для его доказательства разобьем все множители, составляющие , на пары и (здесь пробегает числа от до ) и заметим, что произведение чисел в каждой паре не превосходит . Действительно,

Просуммируем неравенства по от до и получим требуемое.

Похожие задачи

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 3

(20 баллов) На доске 2026 × 2026 расставлены ладьи так, что каждая клетка доски находится под боем хотя бы одной ладьи, но каждая ладья бьет не более 20 других ладей. Для какого наименьшего n можно утверждать, что в любом клетчатом квадрате n × n находится хотя бы одна ладья. Ладья - это шахматная ф

Сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 4

(20 баллов) Точка M — середина катета AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом angle B. Биссектриса угла angle A пересекает описанную окружность треугольника в точке L. Точка H — основание перпендикуляра, опущенного из L на прямую AC. Найдите угол angle AMH.

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Каждое натуральное число окрашено в синий или красный цвет. Сумма любых двух разноцветных чисел — синее число, а их произведение — красное число. Какого цвета произведение двух красных чисел?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 1

(20 баллов) По кругу записано 75 различных чисел, причем произведение любых двух соседних чисел не является положительным. Для каждого из 75 чисел рассмотрим произведение числа и его двух соседей. Сколько из них может быть положительных?

Сложная

Комбинаторика