СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 3

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2022, 10–11 классы

( баллов) Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке . Внутри треугольника выбрана такая точка , что прямая является биссектрисой угла . Луч вторично пересекает описанную окружность треугольника в точке , а луч вторично пересекает описанную окружность треугольника в точке . Найдите отношение площадей треугольников и .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Чертеж к задаче 3

Решение. Пусть и — радиусы окружностей, описанных около треугольников и соответственно. Заметим, что

откуда

Кроме того, из вписанности вытекает, что треугольники и подобны по двум углам. Тогда

так как хорды и соответствуют одинаковым вписанным углам. Поэтому

Поскольку и , треугольники и подобны, откуда

Таким образом,

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, а H — точка пересечения его высот. Оказалось, что прямая OH параллельна стороне BC. На плоскости отметили такую точку K, что ABHK — параллелограмм. Отрезки OK и AC пересеклись в точке L. В каком отношении перпендикуляр
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. На продолжении стороны AC за точку C отмечена точка K, и в треугольник ABK вписана окружность с центром в точке I. Через точки B и I проведена окружность, касающаяся прямой AB в точке B. Эта окружность вторично пересекает отрезок BK в т
Очень сложная
Планиметрия

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Дан остроугольный треугольник ABC, меньший угол которого angle ABC=40circ. Внутри треугольника выбрана такая точка D, что angle BAC+angle ADB=180circ и 2angle ACB+angle DBA=180circ. Через точку C провели прямую, параллельную прямой AD, она пересекла пряму
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) На стороне BC остроугольного треугольника ABC отмечена точка P. Через точку P проведена касательная к описанной окружности треугольника ABP и из точки C на эту касательную опущен перпендикуляр, точка Q - основание этого перпендикуляра. Через точку P проведена касательная к описанной окру
Очень сложная
Планиметрия