СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 3

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2026, 10–11 классы

( баллов) На стороне остроугольного треугольника отмечена точка . Через точку проведена касательная к описанной окружности треугольника и из точки на эту касательную опущен перпендикуляр, точка - основание этого перпендикуляра. Через точку проведена касательная к описанной окружности треугольника и из точки на эту касательную опущен перпендикуляр, точка - основание этого перпендикуляра. Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности.

Чертеж к задаче 3

Решение. Обозначим через точку пересечения прямых и . Из равенства следует, что четырехугольник является вписанным. Поэтому . Поскольку прямая касается описанной окружности треугольника , . Аналогично . Следовательно,

Таким образом, и четырехугольник является вписанным. Стало быть,

и точки , , , лежат на одной окружности. Следовательно, на одной окружности лежат и точки , , , и .

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Внутри треугольника AOB выбрана такая точка K, что прямая KO является биссектрисой угла CKD. Луч DK вторично пересекает описанную окружность треугольника COK в точке L, а луч CK вторично пересекает описанную окружность тр
Очень сложная
Планиметрия

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. На продолжении стороны AC за точку C отмечена точка K, и в треугольник ABK вписана окружность с центром в точке I. Через точки B и I проведена окружность, касающаяся прямой AB в точке B. Эта окружность вторично пересекает отрезок BK в т
Очень сложная
Планиметрия

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, а H — точка пересечения его высот. Оказалось, что прямая OH параллельна стороне BC. На плоскости отметили такую точку K, что ABHK — параллелограмм. Отрезки OK и AC пересеклись в точке L. В каком отношении перпендикуляр
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Дан остроугольный треугольник ABC, меньший угол которого angle ABC=40circ. Внутри треугольника выбрана такая точка D, что angle BAC+angle ADB=180circ и 2angle ACB+angle DBA=180circ. Через точку C провели прямую, параллельную прямой AD, она пересекла пряму
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика