СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 3

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2021, 10–11 классы

( баллов) Дан равнобедренный треугольник с основанием . На продолжении стороны за точку отмечена точка , и в треугольник вписана окружность с центром в точке . Через точки и проведена окружность, касающаяся прямой в точке . Эта окружность вторично пересекает отрезок в точке . Найдите угол между прямыми и .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Чертеж к задаче 3

Решение. Пусть и — перпендикуляры, опущенные из точки на и соответственно. Заметим, что , поскольку прямая касается описанной окружности треугольника . Прямая — биссектриса угла , а по условию. Значит, треугольники и равны по двум сторонам и углу. Поэтому

то есть прямоугольные треугольники и равны. Следовательно,

Прямая является биссектрисой равнобедренного треугольника , откуда .

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Внутри треугольника AOB выбрана такая точка K, что прямая KO является биссектрисой угла CKD. Луч DK вторично пересекает описанную окружность треугольника COK в точке L, а луч CK вторично пересекает описанную окружность тр
Очень сложная
Планиметрия

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, а H — точка пересечения его высот. Оказалось, что прямая OH параллельна стороне BC. На плоскости отметили такую точку K, что ABHK — параллелограмм. Отрезки OK и AC пересеклись в точке L. В каком отношении перпендикуляр
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Дан остроугольный треугольник ABC, меньший угол которого angle ABC=40circ. Внутри треугольника выбрана такая точка D, что angle BAC+angle ADB=180circ и 2angle ACB+angle DBA=180circ. Через точку C провели прямую, параллельную прямой AD, она пересекла пряму
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Пусть Ω и Γ — две такие окружности с центрами O и P соответственно, что окружность Γ проходит через точку O. На окружности Γ вне окружности Ω выбрана точка M. Касательные к Ω, проходящие через M, касаются Ω в точках A и B и вторично пересекают Γ в точках C и D. Отрезки AB и CD пересекают
Очень сложная
Планиметрия