СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 4

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2025, 10–11 классы

( баллов) Пусть и — две такие окружности с центрами и соответственно, что окружность проходит через точку . На окружности вне окружности выбрана точка . Касательные к , проходящие через , касаются в точках и и вторично пересекают в точках и . Отрезки и пересекаются в точке . Докажите, что прямые и перпендикулярны.

Решение. Для начала заметим, что поскольку и — касательные к окружности , а точка — центр , то . Значит, , т. е. дуги и окружности равны, т. е. точки и симметричны относительно прямой .

Пусть — точка пересечения прямых и . В силу симметрии и , мы знаем, что . Докажем, что . Для этого достаточно проверить, что лежит на прямой .

Чертеж к задаче 4

Пусть . Вписанный угол в два раза меньше центрального, поэтому

Поскольку , из равнобедренного треугольника получаем, что . Далее, в четырёхугольнике известно, что (первое равенство — угол между радиусом и касательной, второе равенство доказано выше), поэтому этот четырёхугольник вписанный и

где второе равенство следует из симметрии точек и , а третье — из того, что вписанный угол в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Итак, точка лежит на том же луче, выходящем из точки , что и точка , поэтому лежит на , откуда , что и требовалось.

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, а H — точка пересечения его высот. Оказалось, что прямая OH параллельна стороне BC. На плоскости отметили такую точку K, что ABHK — параллелограмм. Отрезки OK и AC пересеклись в точке L. В каком отношении перпендикуляр
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Дан остроугольный треугольник ABC, меньший угол которого angle ABC=40circ. Внутри треугольника выбрана такая точка D, что angle BAC+angle ADB=180circ и 2angle ACB+angle DBA=180circ. Через точку C провели прямую, параллельную прямой AD, она пересекла пряму
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. На продолжении стороны AC за точку C отмечена точка K, и в треугольник ABK вписана окружность с центром в точке I. Через точки B и I проведена окружность, касающаяся прямой AB в точке B. Эта окружность вторично пересекает отрезок BK в т
Очень сложная
Планиметрия

СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Внутри треугольника AOB выбрана такая точка K, что прямая KO является биссектрисой угла CKD. Луч DK вторично пересекает описанную окружность треугольника COK в точке L, а луч CK вторично пересекает описанную окружность тр
Очень сложная
Планиметрия