СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 4
( баллов) Пусть и — две такие окружности с центрами и соответственно, что окружность проходит через точку . На окружности вне окружности выбрана точка . Касательные к , проходящие через , касаются в точках и и вторично пересекают в точках и . Отрезки и пересекаются в точке . Докажите, что прямые и перпендикулярны.
Ответ
Решение. Для начала заметим, что поскольку и — касательные к окружности , а точка — центр , то . Значит, , т. е. дуги и окружности равны, т. е. точки и симметричны относительно прямой .
Пусть — точка пересечения прямых и . В силу симметрии и , мы знаем, что . Докажем, что . Для этого достаточно проверить, что лежит на прямой .
Пусть . Вписанный угол в два раза меньше центрального, поэтому
Поскольку , из равнобедренного треугольника получаем, что . Далее, в четырёхугольнике известно, что (первое равенство — угол между радиусом и касательной, второе равенство доказано выше), поэтому этот четырёхугольник вписанный и
где второе равенство следует из симметрии точек и , а третье — из того, что вписанный угол в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Итак, точка лежит на том же луче, выходящем из точки , что и точка , поэтому лежит на , откуда , что и требовалось.