СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 5
( баллов) При каких клетчатую доску можно разбить по клеточкам на один квадрат и некоторое количество полосок из пяти клеток так, что квадрат будет примыкать к стороне доски?
Ответ: при всех , дающих остаток от деления на .
Решение. Если доску удалось разрезать на один квадрат и некоторое количество полосок из пяти клеток, то , откуда дает остаток или от деления на . Предположим, что и доску удалось разрезать требуемым образом. Развернем ее так, чтобы квадрат примыкал к верхней стороне доски. Запишем в клетках верхней строки единицы, в клетках следующей за ней строки — двойки, и так далее. Заметим, что сумма чисел в пяти последовательных строках кратна , поскольку
Поэтому остаток от деления на суммы всех расставленных чисел равен
С другой стороны, в каждой полоске сумма чисел кратна пяти, а в квадрате сумма чисел равна . Значит, остаток от деления на суммы всех расставленных чисел равен , и мы получаем противоречие.
Если , то можно вырезать угловой квадрат , верхнюю полоску разрезать на горизонтальные полоски из пяти клеток, а прямоугольник разрезать на вертикальные полоски из пяти клеток.