СПбГУ 2022, 9 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2022, 9 класс

( баллов) Дан квадратный трехчлен . Найдите все целые , при которых значения этого трехчлена равны квадрату простого числа.

Ответ: или .

Решение. Найдем все пары , удовлетворяющие уравнению , где — целое, а — простое. Разложим трехчлен на множители:

Если обе скобки в правой части кратны , то на будет делиться и , то есть в этом случае . Тогда либо , либо . В первом случае получаем , а второй невозможен. Если же одна из скобок не кратна , то либо и , либо и . Первый случай невозможен, а во втором подходит .

Похожие задачи

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Решите в натуральных числах уравнение 5^x+12^y=z².

Сложная

Теория чисел

Уравнения

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Каждое натуральное число окрашено в синий или красный цвет. Сумма любых двух разноцветных чисел — синее число, а их произведение — красное число. Какого цвета произведение двух красных чисел?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 1

(20 баллов) По кругу записано 75 различных чисел, причем произведение любых двух соседних чисел не является положительным. Для каждого из 75 чисел рассмотрим произведение числа и его двух соседей. Сколько из них может быть положительных?

Сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 6

(20 баллов) Даны четыре кучи камней, занумерованные числами от 1 до 4. Сначала в каждой куче лежит по 2024 камня. Петя и Вася играют в игру. Ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок выбирает натуральные числа m

Сложная

Комбинаторика