СПбГУ 2026, 9 класс, задача 5

Ответ: .

Первое решение. Очевидно, что число нечетно, а также не делится на три и на пять. Тогда и и, значит, дает остаток при делении на . Заметим, что остатки степеней пятерки при делении на чередуются: при нечетных степенях это , а при четных - . Следовательно, число четно. Пусть . Тогда

Заметим, что

Поэтому одна из скобок в равна , а другая . В любом случае является полуразностью чисел и . Таким образом,

Но если нечетно, то правая часть дает остаток или от деления на , что невозможно. Стало быть, - четно. Для имеем , что возможно при ; для имеем . Таким образом, можно считать, что и . При справедливо неравенство

поэтому правая часть соотношения отрицательна и в левой части стоит знак «−», Стало быть, и, значит, делится на . Но это невозможно, поскольку и дают остатки от деления на .

Осталось убедиться, что подходит. Действительно, , откуда .

Второе решение. Поскольку левая часть равенства не делится на , число также не делится на . Тогда и и, значит, дает остаток при делении на . Заметим, что остатки степеней пятерки при делении на чередуются: при нечетных степенях это , а при четных - . Следовательно, число четно. С другой стороны левая часть равенства нечетна и не делится на , поэтому число также нечетно и не делится на . Значит оно оканчивается на , , или . Тогда оканчивается на или . Заметим, что последняя цифра у числа всегда пятерка, а последние цифры числа чередуются: , , , , , , , , . Поэтому может оканчиваться лишь на или , что соответствует четной степени . Пусть и . Тогда

Произведение чисел и есть степень пятерки, поэтому каждое из них также является степенью пятерки. Значит, и для некоторых неотрицательных целых чисел . Тогда . Правая часть равенства не делится на пять, поэтому и, значит, . Стало быть, . Таким образом,

Заметим, что числа и четны и отличаются на два. Поэтому их общий делитель равен двум. Кроме того они оба больше двух. Поскольку их произведение равно , одно из них равно , а другое - . Но число не делится на . Значит, и . Следовательно,

Но , поэтому при это равенство не может быть выполнено. Осталось проверить, что для и оно верно, но нужное существует лишь для . Таким образом, и . Поэтому и . Подставим найденные и в левую часть и получим, что .