СПбГУ 2025, 9 класс, задача 6
( баллов) Найдите все простые числа , для которых существует ровно пять таких натуральных чисел , что делится на .
Ответ: .
Решение. Поскольку всегда делится на , число
делится на в точности когда делится на .
Если не делится на , то также не делится на и, значит, числа и взаимно просты. Тогда число должно делиться на , но это невозможно так как . Следовательно, кратно . Тогда для некоторого натурального числа . Число делится на в точности когда делится на . Таким образом, если — отличный от единицы делитель числа , то число подходит, т. е. удовлетворяет условию. Таким образом, у произведения должно быть в точности шесть натуральных делителей. Для таких делителей два, а для — четыре, поэтому . Для число имеет в точности шесть натуральных делителей, поэтому подходит.
Пусть , тогда при некотором и произведение равно . Но это число имеет не меньше восьми натуральных делителей: , , , , , , и , поэтому такие не подходят.