СПбГУ 2021, 9 класс, задача 6
( баллов) Найдите все пары такие простых чисел и , что является квадратом натурального числа.
Ответ: , , .
Решение. Пусть для некоторого натурального . Тогда
Левая часть раскладывается в произведение двух чисел, одно из которых целое, а другое натуральное, четырьмя способами: , , и . Число больше и , и , поэтому первые три случая невозможны. Стало быть, и . Таким образом, . Следовательно, и, значит, . Тогда , или . Из них простыми числами будут только , , и . Соответствующими им будут , , и . Поэтому первый вариант не подходит, а остальные подходят.