СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 4

Очень сложная
Теория чисел
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2022, 10–11 классы

( баллов) Натуральное число в системе счисления с основанием () имеет вид , причем . Оказалось, что -ичная запись числа представляет собой семизначный палиндром с нулевой средней цифрой. (Палиндромом называется число, которое читается одинаково слева направо и справа налево.) Найдите сумму -ичных цифр числа .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Договоримся писать , если . Пусть , . Тогда

Из условия на вытекает равенство

где — некоторые -ичные цифры. Сделаем два наблюдения.

  1. При любом натуральном

Правая часть кратна , откуда .

  1. Приравняем остатки левой и правой частей от деления на :

Поскольку взаимно просто с , на делится . Заметим, что , иначе число будет восьмизначным. Кроме того, . Поэтому

Таким образом, .

Поскольку — -ичная цифра, из 2) вытекает, что , откуда . Так как , мы получаем и . В силу 1) сумма цифр равна .

Замечание. Прямым вычислением проверяется, что . Таким образом, описанная в условии ситуация реализуется.

Похожие задачи

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) В стране Лимонии в обращении используются монеты достоинством 6n+1, 6n+3, 6n+5 и 6n+7 пиастров, где n — натуральное число. Житель страны зашел в банк, не имея при себе наличных денег. Какую наибольшую сумму ему не смогут выдать в банке?
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) В каждой клетке таблицы 100 × 100 записано натуральное число. В каждой строке имеется по крайней мере 10 различных чисел, а в каждых четырех последовательных строках не более 15 различных чисел. Какое наибольшее количество различных чисел может быть в таблице?
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) Кузнечик прыгает по числовой прямой. Каждый свой прыжок он может совершить в любом направлении. Он начинает в точке 0 прыжком единичной длины. Каждый следующий прыжок должен быть на пять больше предыдущего (т. е. первый прыжок длины 1, второй длины 6, третий длины 11 и т. д.). За какое н
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 2

(20 баллов) Натуральные числа a, b и c таковы, что дроби 1/a, 1/b и 1/c образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Какое наименьшее значение может принимать наибольший общий делитель чисел a и b.
Очень сложная
Теория чисел
Прогрессии