СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 2

Очень сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2026, 10–11 классы

( баллов) Натуральные числа , и таковы, что дроби , и образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Какое наименьшее значение может принимать наибольший общий делитель чисел и .

Ответ: .

Решение. Поскольку , и образуют арифметическую прогрессию, наибольший общий делитель чисел и может равняться двум. Покажем, что числа и не могут быть взаимно простыми. Предположим противное. По условию , поэтому . Следовательно, делится на , что в силу взаимной простоты и означает, что делится на . Таким образом, делится на . Но тогда и, значит, , что невозможно по условию.

Замечание. Пример, для которого единственный.

Похожие задачи

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) Кузнечик прыгает по числовой прямой. Каждый свой прыжок он может совершить в любом направлении. Он начинает в точке 0 прыжком единичной длины. Каждый следующий прыжок должен быть на пять больше предыдущего (т. е. первый прыжок длины 1, второй длины 6, третий длины 11 и т. д.). За какое н

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) В стране Лимонии в обращении используются монеты достоинством 6n+1, 6n+3, 6n+5 и 6n+7 пиастров, где n — натуральное число. Житель страны зашел в банк, не имея при себе наличных денег. Какую наибольшую сумму ему не смогут выдать в банке?

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) На доске написано число 1200. Петя приписал к нему справа 10n+2 пятерок, где n — неотрицательное целое число. Вася подумал, что это шестеричная запись натурального числа x, и разложил x на простые множители. Оказалось, что среди них ровно два различных. При каких n это возможно?

Очень сложная

Теория чисел

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Три простые числа p, q и r больше трех и удовлетворяют условию 2p+5q=r. Для какого наибольшего n число p+q+r всегда будет делиться на n?

Очень сложная

Теория чисел