СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 4
( баллов) На доске написано число . Петя приписал к нему справа пятерок, где — неотрицательное целое число. Вася подумал, что это шестеричная запись натурального числа , и разложил на простые множители. Оказалось, что среди них ровно два различных. При каких это возможно?
Ответ: .
Решение. Договоримся шестеричные числа писать в скобках, чтобы отличать их от десятичных. Тогда
Если , то , что нам подходит. Пусть . Заметим, что
Положим , . Эти числа взаимно просты, так как они нечетны и различаются на . Рассмотрим два случая.
) четно. Тогда делится на . Но и не имеют общих простых делителей, откуда при некотором натуральном . Мы получим
что невозможно, поскольку левая часть кратна , а правая — нет.
) нечетно. Тогда делится на и, аналогично, при некотором натуральном . Поэтому
что невозможно, поскольку левая часть кратна , а правая — нет.