СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 3

Очень сложная
Теория чисел
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2025, 10–11 классы

( баллов) Три простые числа , и больше трех и удовлетворяют условию . Для какого наибольшего число всегда будет делиться на ?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Покажем, что всегда делится на . Действительно, по условию , поэтому . Заметим, что , поэтому если и дают остатки и от деления на три, то делится на три и больше трех, поэтому не может быть простым числом. Значит, и дают одинаковые остатки от деления на три. Тогда делится на три, а, значит, делится на .

Если и , то простое число и . Если и , то простое число и . Поэтому для чисел из условия задачи гарантированно может делиться только на .

Похожие задачи

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) На доске написано число 1200. Петя приписал к нему справа 10n+2 пятерок, где n — неотрицательное целое число. Вася подумал, что это шестеричная запись натурального числа x, и разложил x на простые множители. Оказалось, что среди них ровно два различных. При каких n это возможно?
Очень сложная
Теория чисел

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) В каждой клетке таблицы 100 × 100 записано натуральное число. В каждой строке имеется по крайней мере 10 различных чисел, а в каждых четырех последовательных строках не более 15 различных чисел. Какое наибольшее количество различных чисел может быть в таблице?
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Натуральное число x в системе счисления с основанием r (rle 36) имеет вид overline{pqqp}, причем 2q=5p. Оказалось, что r-ичная запись числа x2 представляет собой семизначный палиндром с нулевой средней цифрой. (Палиндромом называется число, которое читается одинаково слева нап
Очень сложная
Теория чисел

СПбГУ 2022, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) На картинке нарисовано несколько кружочков, соединенных отрезками. Саша выбирает натуральное число n и расставляет в кружочках различные натуральные числа так, чтобы для любых двух всех этих чисел выполнялось свойство: если числа a и b не соединены отрезком, то сумма a+b должна быть взаи
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика