СПбГУ 2022, 9 класс, задача 6
( баллов) У натурального числа нет ни одного делителя , удовлетворяющего неравенству
Докажите, что имеет простой делитель, четвертая степень которого больше, чем .
Ответ
Решение. Если является делителем , то также является делителем . Тогда не имеет делителей , для которых
что эквивалентно . Следовательно, у числа нет делителей , для которых . Пусть — наибольший делитель числа , для которого , а — любой простой делитель числа . Тогда является делителем . Из максимальности вытекает, что . Следовательно,
Поскольку — делитель , верно неравенство .