СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 5
( баллов) Углы и выпуклого четырехугольника равны. Точки и симметричны точке относительно прямых и соответственно. Прямые и пересекают отрезок соответственно в точках и . Докажите, что описанные окружности треугольников и касаются друг друга.
Ответ
Решение.
Пусть точка симметрична точке относительно прямой (возможно она совпадает с точкой ). В силу симметрии и . Поэтому четырехугольник вписанный и, значит, точка лежит на описанной окружности треугольника . Аналогично проверяется, что точка лежит на описанной окружности треугольника . Кроме того по симметрии . Следовательно, точки , , и лежат на одной окружности. Проведем касательную в точке к описанной окружности треугольника , пусть она пересекает прямую в точке . Тогда
Следовательно, - касательная к описанной окружности треугольника в точке .