СПбГУ 2026, 9 класс, задача 4
( баллов) В выпуклом четырёхугольнике выполняется соотношение . Сторона поделена на три равные части точками и . Докажите, что .
Решение. Пусть точка лежит между и . Отметим на плоскости такую точку , что четырехугольник будет параллелограммом. Тогда , а отрезки и равны и параллельны. Поэтому равны и параллельны также и отрезки и . Следовательно, четырехугольник также является параллелограммом и, в частности, . Таким образом, нужно доказать неравенство
Иными словами, что сумма длин диагоналей четырехугольника больше суммы длин двух противоположных сторон. Это очевидно в случае, когда диагонали четырехугольника пересекаются. Поэтому осталось проверить, что четырехугольник является выпуклым, т. е. что все его углы меньше . Для проверки этого заметим, что из параллельности прямых и углы и равны, поэтому (угол рассматриваем как угол в четырехугольнике , т. е. возможно он и больше развернутого)
Следовательно, углы и меньше . А углы и совпадают с углами выпуклого четырехугольника , поэтому они также меньше .
Замечание. Выпуклость четырехугольника нуждается в доказательстве. Просто сослаться на картинку не достаточно. В обосновании обязательно должно быть использовано условие , поскольку без него нет нужной выпуклости. Более того, без этого условия неверно утверждение задачи.