СПбГУ 2021, 9 класс, задача 1

Сложная
Теория чисел
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2021, 9 класс

( баллов) Докажите, что для любых вещественных чисел и уравнение

имеет решение.

Решение. Если , то любой является решением уравнения. Если , то нам нужно доказать, что квадратный трехчлен имеет корень. Для этого достаточно проверить, что его дискриминант неотрицателен. Дискриминант, деленный на , равен

что всегда не меньше нуля.

Похожие задачи

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Каждое натуральное число окрашено в синий или красный цвет. Сумма любых двух разноцветных чисел — синее число, а их произведение — красное число. Какого цвета произведение двух красных чисел?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 2

(20 баллов) В Цветочном городе ходят автобусы и троллейбусы. Одна поездка на автобусе стоит на 6 рублей дороже одной поездки на троллейбусе. Незнайка за неделю совершил 42 поездки и потратил на это 1200 рублей. Сколько раз Незнайка катался на автобусе, если известно, что на автобусе он катался более
Сложная
Алгебра
Теория чисел

СПбГУ 2021, 9 класс, задача 6

(20 баллов) Найдите все пары такие простых чисел p и q, что p2+5pq+4q2 является квадратом натурального числа.
Сложная
Теория чисел

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Решите в натуральных числах уравнение 5x+12y=z2.
Сложная
Теория чисел
Уравнения