СПбГУ 2021, 9 класс, задача 2
( баллов) На острове живут лжецы и рыцари. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый житель острова про каждого из остальных знает рыцарь он или лжец. Как-то раз встретились островитян. Трое из них сказали: «Ровно трое из нас лжецы», затем шестеро из остальных сказали: «Ровно шестеро из нас лжецы», наконец, девять из оставшихся сказали: «Ровно девять из нас лжецы». Сколько лжецов было среди встретившихся? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.
Ответ
Ответ: , или .
Решение. Пусть третья фраза верна. Тогда все говорившие ее — рыцари, и лжецов должно быть ровно девять. Поэтому все говорившие остальные фразы — лжецы. Их девять, а значит, промолчавший — рыцарь, и такая ситуация возможна. Пусть третья фраза неверна. Тогда говорившие ее — лжецы, и лжецов не менее девяти. Поэтому в первых двух группах тоже лгут. Следовательно, лжецов не менее . Последний же может быть кем угодно.