СПбГУ 2025, 9 класс, задача 3

Сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2025, 9 класс

( баллов) Положительные числа и удовлетворяют неравенству . Докажите, что

Решение. По неравенству о средних для двух чисел и . Следовательно,

Похожие задачи

СПбГУ 2021, 9 класс, задача 3

(20 баллов) Вещественные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a⁶+b⁶+c⁶+d⁶=64. Найдите наибольшее значение выражения a⁷+b⁷+c⁷+d⁷.

Сложная

Неравенства

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 1

(20 баллов) Квадратный трехчлен f(x)=ax²+bx+c имеет ровно один корень, квадратный трехчлен 2f(2x-3)-f(3x+1) также имеет ровно один корень. Найдите корень трехчлена f(x).

Сложная

Неравенства

Комбинаторика

СПбГУ 2022, 9 класс, задача 3

(20 баллов) Положительные числа a, b и c удовлетворяют условию abc(a+b+c)=ab+bc+ca. Докажите неравенство 5(a+b+c)ge 7+8abc.

Сложная

Неравенства

Комбинаторика

СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 1

(20 баллов) Дан квадратный трехчлен f(x)=2x²+ax+b с целыми коэффициентами, при любом вещественном x удовлетворяющий неравенству 20f(x)+19ge 0. Докажите, что 2f(x)+1ge 0 при любом вещественном x.

Сложная

Неравенства

Комбинаторика