СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 4

Очень сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Заключительный этап, 2024, 10–11 классы

( баллов) Решите в целых числах уравнение .

Ответ: , , и .

Решение. Если , то левая часть уравнения будет целой, а правая нецелой. Если , то . Поскольку квадраты дают остатки , и от деления на пять, числа и дают остаток от деления на , кроме того и . Стало быть, и или и и других вариантов быть не может.

Пусть . Поскольку делится на семь, в этом случае правая часть делится на семь. Квадраты целых чисел могут давать остатки , , и от деления на семь. Сумма двух таких остатков равна нулю только в случае, когда они оба равны нулю. Таким образом, и делятся на семь. Стало быть, и для некоторых целых чисел и . Следовательно,

Если , то число делится на семь, что невозможно, поскольку оно равно . Стало быть, и уравнение принимает вид

Таким образом, . Поскольку квадраты при делении на дают лишь остатки и , оба числа и четны и тогда и для некоторых целых чисел и . Стало быть, . Аналогично получаем, что , и . Но у такого уравнения решения найти совсем легко: и или и . Тогда и или и .

Похожие задачи

СПбГУ 2024, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Дан остроугольный треугольник ABC, меньший угол которого angle ABC=40^circ. Внутри треугольника выбрана такая точка D, что angle BAC+angle ADB=180^circ и 2angle ACB+angle DBA=180^circ. Через точку C провели прямую, параллельную прямой AD, она пересекла пряму

Очень сложная

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) На столе в ряд стоит 40 чашек, занумерованных слева направо числами от 1 до 40. В каждой чашке лежит не более 10 вишен, а количество вишен в любых соседних чашках отличается ровно на один. В чашках с номерами 1, 4, 7, 10, ldots, 40 вместе 125 вишен. Какое наибольшее количество вишен може

Очень сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2021, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) В некоторых клетках полоски 1 × 2021 поставлено по одной фишке. В каждую из пустых клеток записывается число, равное модулю разности количества фишек слева и справа от этой клетки. Известно, что все записанные числа различны и отличны от нуля. Какое наименьшее количество фишек может быть

Очень сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Сумма положительных чисел a, b, c и d не превосходит 4. Найдите наибольшее значение выражения ⁴√(a(b+2c))+⁴√(b(c+2d))+⁴√(c(d+2a))+⁴√(d(a+2b)).

Очень сложная

Неравенства

Комбинаторика