Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 5

На доске написаны подряд идущие натуральные числа от до (каждое из них ровно один раз). Сколькими способами можно стереть три из написанных чисел так, чтобы остаток от деления суммы всех чисел на доске на после этого не изменился?

Ответ

Ответ. .

Решение. Если остаток от деления суммы всех чисел на не меняется, это означает, что сумма трёх выбранных чисел должна делиться на .

Найдём количество способов выбрать нужные три числа из натуральных чисел от до . Все способы разобьём на два класса: к первому отнесём все те тройки, в которых остатки всех трёх чисел от деления на одинаковы, а ко второму — тройки, в которых все три остатка от деления на встречаются по одному разу. Общее число способов из первого класса равно , поскольку чисел, кратных или имеющих остаток при делении на , — по штук, а чисел с остатком — всего . Число способов из второго класса равно . Получаем способов. При находим .

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 6

Рассматривают все непустые подмножества множества T={1,2,ldots,100}. Для каждого из них вычисляют среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Пусть A — среднее арифметическое всех средних арифметических, вычисленных для подмножеств, содержащих число 40, а B — аналогичная величина для всех

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 4

В турнире у волейбольной команды было 10 побед и 6 поражений, причём все её победы были получены тремя «сериями» (серия — это одна или несколько последовательных побед, между которыми не было ни одного поражения). Сколькими способами это могло случиться? Под способом понимается последовательность по

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 5

Найдите количество пар таких натуральных чисел a и b, что a — трёхзначное, b — четырёхзначное, а их произведение делится на 35.

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 10

Двести школьников собирают наклейки, среди которых есть наклейки редких видов. Оказалось, что у каждого школьника есть наклейки ровно двух редких видов, и для каждого редкого вида наклеек найдётся школьник, у которого есть наклейка такого вида. Также известно, что каких бы 10 школьников ни взять, на

Средняя

Комбинаторика