Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 4
В турнире у волейбольной команды было побед и поражений, причём все её победы были получены тремя «сериями» (серия — это одна или несколько последовательных побед, между которыми не было ни одного поражения). Сколькими способами это могло случиться? Под способом понимается последовательность побед и поражений. Ничьих в волейболе не бывает.
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть серии побед были длины , и , а серии поражений до первой были длины , , и — до серии длины случилось поражений, между сериями длины и было поражений и так далее. Тогда , причём все , а , причём , . Первое уравнение имеет натуральных решений. Второе уравнение имеет решений (достаточно добавить к и по единице и получить уравнение с правой частью и четырьмя натуральными переменными в левой части). Получаем искомое число способов: