Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 6

Рассматривают все непустые подмножества множества . Для каждого из них вычисляют среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Пусть — среднее арифметическое всех средних арифметических, вычисленных для подмножеств, содержащих число , а — аналогичная величина для всех подмножеств, содержащих число . Найдите сумму .

Ответ

Ответ. .

Решение. Сопоставим каждому подмножеству (кроме ) подмножество (некоторым подмножествам будет сопоставлено оно же само). Назовём два сопоставленных друг другу подмножества парой. Сумма средних значений в любой такой паре равна . Для каждого из множеств, среднее которого участвует в вычислении величины , второе множество из пары участвует в выражении для , и наоборот. Поэтому в сумме каждая пара множеств указанного вида даёт вклад . Отметим также, что множество имеет среднее и учитывается в обеих величинах и . Поэтому сумма равна .

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 8

Имеется 2600 наборов по 50 карточек. На каждой карточке написано натуральное число, причём в каждом наборе все числа, написанные на карточках, различны. Оказалось, что какие бы два набора ни взять, на 100 карточках этих наборов будет написано ровно 99 различных натуральных чисел. Какое наименьшее ко

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 7

Сколькими способами можно добраться от точки A до точки B по линиям сетки, расположенным внутри или на границе представленной на рисунке фигуры, если разрешено двигаться только вправо или вверх? Рисунок к условию

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 2

Маша и Саша играют в следующую игру. Несколько раз бросается симметричный кубик. Его грани пронумерованы натуральными числами от 1 до 6, а выпадение любой грани равновероятно. Маша побеждает при выпадении подряд двух шестёрок, а Саша — при выпадении подряд двух нечётных цифр. Какова вероятность того

Средняя

Комбинаторика

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 10

Двести школьников собирают наклейки, среди которых есть наклейки редких видов. Оказалось, что у каждого школьника есть наклейки ровно двух редких видов, и для каждого редкого вида наклеек найдётся школьник, у которого есть наклейка такого вида. Также известно, что каких бы 10 школьников ни взять, на

Средняя

Комбинаторика