Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 2
Маша и Саша играют в следующую игру. Несколько раз бросается симметричный кубик. Его грани пронумерованы натуральными числами от до , а выпадение любой грани равновероятно. Маша побеждает при выпадении подряд двух шестёрок, а Саша — при выпадении подряд двух нечётных цифр. Какова вероятность того, что Маша победила, если известно, что игра закончилась за четыре хода? Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть подбрасывается игральная кость с гранями, событие — победа Маши, событие — победа Саши, а событие — завершение игры за хода. Вычислим условную вероятность : по определению она равна . Вероятность , а , где и — количества партий, заканчивающихся победой Маши и Саши соответственно за хода. Итак,
Остаётся вычислить
(из всех вариантов первых двух ходов удаляются выигрышные для Саши на первых двух шагах, а также выигрышные для Маши ранее, чем за хода), а
(выбор последних двух выигрышных для Саши ходов, а также выбор чётного и не равного шести результата на втором шаге, либо равного шести на втором шаге, но не равного шести на первом). После подстановки получаем .